Prof. Nadia 是Stony Brook University數學系的教授，在這次韓國研討會裡的 workshop 安排在研討會第二天下午。Prof. Nadia穿著一身勁紅的洋裝，帶領一段有趣的數學談論。一身紅色的穿著，與討論問題時候的熱情洋溢，在研討會後來的時間裡，我都稱 Nadia是數學女王。
如何用數學問題來作為探索談論的材料? 通常大家對數學問題看法，總覺得數學問題的形式，多數有確定的答案。有確定答案的問題，適合當作探索談論的材料嗎?
Nadia 說，我們習知的數學問題，多數有確定的方法和答案，那是因為我們用以作數學練習的問題，常常是將實際生活裡的問題單純化之後的結果。當把問題單純化的時候，複雜的，不清楚的，或是牽涉到其他觀念的部分都會被當作雜質去除掉，使得問題更適合某一個特定觀念的運用。如果將被去除的雜質部分，重新放回問題裡，對問題的思考就有了更多探索的空間。
Nadia以一隻待在井裡的青蛙問題，開始了workshop裡的數學談論。
青蛙問題是這樣的，有一隻青蛙，發現自己在一個 30-feet 深的井裡。這隻青蛙每個小時可以往上爬 3-feet，但是會往下滑 2-feet，那麼這隻青蛙花多少時間可以爬出井外面呢?
一位印度女孩對這個問題的看法是，這隻青蛙30小時之後可以爬出井。原因是青蛙一個小時，往上爬 3-feet 掉下來 2-feet，所以總共是往爬上 1-foot 。井的高度有 30-feet，需要 30 小時才能爬出井。
另一位先生，對這段敘述的疑問是，一隻青蛙可以有能力「發現自己在井裡面」嗎? 那麼這隻青蛙，得要有某種程度的自我意識才行。剛剛提出意見的那位印度女孩，又提出意見修正自己剛才的看法，因為在第27 小時的時候，青蛙爬到了27-feet 高，接下來又往上爬 3-feet 時，就已經爬到井邊了，所以青蛙幒共需要的是 28小時，而不是 30小時。
Nadia接著指出問題裡另一個值得討論的地方，就是青蛙往上爬又往下掉的過程是怎樣的呢? 是每個小時都先往上爬3-feet，然後往下掉2-feet。或者，也有另一種可能是，青蛙每次往上爬9-inches之後，就往下掉6-inches，一小時之內總共往上爬3-feet，往下掉2-feet。這兩種不同的過程，也會使得這個問題有不同的解決方法。這時還有人提出，青蛙應該要 31小時才可以爬出井的時候，Nadia 說雖然她也很想知道，為什麼會需要31小時。但是這個討論可能需要先結束，為了要進行下面另一部分的討論。
接下來的時間裡，我們人手一張紙的拿到一個數學故事，故事的內容主要是一些對話，對話中談論了「數學觀念」與「現實世界」的關係。故事對話裡的其中一個看法是，數學概念，就像在鏡子當中看到的「現實世界」。 故事裡的另一個看法是，數學概念並不是現實世界在鏡子中的影像，因為「現實世界」在鏡子中的影像，看起來應該會跟現實世界一模一樣。但是「數學概念」跟「現實世界」看起來有很大的不同，是「現實世界」經過簡化，某些部分被省略之後的結果。它比較像是一個「現實世界」的「地圖」，地圖提供了一些「符號」，「符號」象徵了現實世界裡的某些「意義」。地圖中符號與符號之間的連接，標示了「意義」之間彼此的關係。
讀完這個故事，引起大家一連串的對「數學」，「數學概念」，「數學概念」與「現實世界」的關係等等的提問。
數學是被「發現」的，還是被「發明」的?(Nathalie)
數學可以增加我們所擁有的時間嗎?(Nathalie)
數學問題裡，有所謂的完美的解答嗎?(Shakovr)
數學可以解決「先有雞，還是先有蛋」這類的問題嗎?(Stherphone)
如果數學是現實世界的地圖，那些被省略掉的部分是什麼? (Ben)
我們是先知道如何分蛋糕，才懂得分享蛋糕。還是先懂得分享蛋糕，才知道如何分蛋糕? (Stefane)
可以用「比較好」的方式解決一個數學問題，「比較好」指的是什麼意思呢?(Nathelie)
對數學擅長與不擅長，是一種天生的能力嗎?(Shakohn)
有沒有任何一個數學概念，並沒有現實世界裡的現象，與這個概念相對應?(Ting-Lan)
哈，是啦，最後那個問題，是在讀完數學故事之後，像爆米花四散爆發一樣一連串的提問裡，我也忍不住提出的一個問題。我想到一些數學概念，如虛數i (imaginary number)，在概念上，是一個想像出來的數。哪有任何一個實數(real number)平方的值會是負的呢?只有想像出來的數(imaginary nuber)才會有這種特異功能吧。但是，這個在想像當中才會存在的數，卻在我們想要描述一個電磁波動的行進時，貼切的描述了電磁波前進的時候，電場與磁場的能量不斷變化的行為。
到底「數學概念」是從現實世界的現象中抽象化得到的概念，還是從想像中建構出來的概念，「剛好」可以對應到現實世界中的現象呢?如果概念與現實世界的對應，是「恰巧」「剛好」發生的，那麼有沒有一些數學概念，並沒有相對應的現實世界事物呢?
研討會裡的另一場以數學問題為主題的presentation，是Korean 的教授 Young-Sam Chun的論文發表。在講者報告之後，Prof. Jennifer首先有興趣的疑問是，這樣的問題和討論的方式，的確能invoke wondering，也引起思考問題、和解決問題的興趣。但是這樣的討論是一種 philosophical enquiry 嗎? 或者是一種 mathematical enquiry 呢?
這個問題似乎表示了，有一種enquiry 是mathematical enquiry ，另一種 enquiry 是philosophical enquiry。兩種不同的 enquiry ，可能是不同的過程，或是有不同的性質。可是，真的有這樣兩種不同的 enquiry 嗎?兩者之間的不同，可以被說明，或是區別嗎?
另一位參與 這場presentation的教授，以一個古老的哲學問題「一個人是否可能兩次踏進同一條河流裡」，來說明他對 philosophical enquiry的看法。當我們第二次把腳踩進一條河流裡時，原先的河流裡的水，已經流去了。河流裡的水，與第一次腳踩進河流裡的水，已大不相同。這時，我們還能說是，踩進的是同樣一條河嗎?或者要說這已經是不同的一條河了呢?
如果因為河水的流去，就認為這條河不再是原來那條河，已經是另一條河了。那麼我們總是稱作「淡水河」的那一條河流，豈不是每一天，每一個鐘點，都是一條不同的河流了嗎? 或者，當我們稱呼它是同一條河時，意思指的是，在同一個地理位置的那一道水流呢? 在這個問題裡，需要先釐清的是，我們所說「同一條河」是甚麼意思。而且，當一個想法被提出的時候，並沒有提供了問題的答案，也沒有 end the enquiry。
原本對enquiry這個概念也就不十分清楚，在這裡卻聽到大家對mathematical enquiry 和 philosophical enquiry的談論，真是讓人覺得特別有意思。
置身在這個談論中的自己，就好像是跟隨了經驗豐富的登山隊伍。夾雜在許多登山愛好者之間，因為眾人的簇擁，也爬上了高峰。山路的險峻，原不是憑自己粗淺的本事就能爬上來的，只因為眾人行路的腳力強健，竟使自己也有機會一睹高山的美景。
在這個問題的談論中，引起我的另一個疑問是，我們在意一個討論是不是philosophical enquiry嗎? philosophical enquiry 裡，有一些性質，是別的思考活動裡沒有的嗎?
研討會中所有的演講與工作坊結束的最後一天晚上，楊老師與這次一起參加研討會的幾位老師們，毓書與我，一行人圍坐在宿舍前面，慶尚大學地處高地，雖然每個白天都是豔陽炙熱，到了夜晚總是清風徐徐。從俄羅斯來參加研討會的年輕女孩，剛剛從韓國街上逛回來，從我們的面前走過，手裡提著裝得滿滿的大袋子、小袋子shopping回來的豐富物資。毓書跟大家聊起在這次研討會，她參加Nadia 那場數學討論workshop的想法，老師們也談起了自己對數學的想法和經驗。
「數學裡有邏輯嗎? 我覺得在中學之後學的數學，只是一直不斷的套用公式。」「後來高中數學裡學的 sin、cos，從來沒有弄懂過。學微積分的時候，倒是比較好。」老師們回想自己學習數學的經驗。惠雅老師也分享了一部電影「 博士熱愛的算式」，電影中一位熱愛數學的博士告訴一個小孩，每一個數字都像是一顆星星，等著你去發現它。惠雅老師覺得，老師最重要的，常常不是給了你知識，而是對你產生了某一些影響。
學習數學讓人覺得不喜歡，是從怎樣的情境開始發生的? 是從某一個概念，讓學習者難以瞭解開始的嗎? 是教授數學的老師，自己也不喜歡數學嗎? 是在學習數學的過程中，沒有 invoke 學習者的 wondering 嗎? 是因為學習的過程，沒有引發學習者的思考活動，使得數學成為一個不斷重複操作的過程嗎?
問題飄散在徐徐的風裡，星星仍然不出聲的閃爍著。
回到桃園機場時，與楊老師分享， workshop 裡關於 mathematical enquiry 和 philosophical enquiry 這兩個概念的談論。
楊老師從他的問題集錦百寶袋裡，立時掏出了一個關於 mathematics 和 philosophical enquiry的問題
「若要把一張長方形的紙張對折，有幾種對折的方式。這是一個數學問題吧?」
我想了一下「是吧，是一個數學問題。有幾種方式呢? 一種，嗯，兩種吧。」
楊老師說「是嗎?」
我又想了一下「好像還有很多種，可能是無限多種吧。」
楊老師說「如果要想這個問題，要先解決的是，甚麼是對折?」
「對呀，什麼是對折。現在想嗎? 現在想不出來耶。」在入境通關的隊伍裡，我手忙腳亂的找著護照，以掩飾腦袋裡的一片混亂。
什麼是「把一個長方形對折」? 「把一個長方形對折，可以有幾種方法」是一個數學問題嗎? 這個思考過程，是一種 philosophical enquiry嗎? 我們在意討論裡，是否發生了 philosophical enquiry 嗎? philosophy enquiry 有什麼意義嗎? 那是一種人類本能的探索方式嗎? 因為這樣的探索方式，人類總是不斷的檢視自己的生活方式，而不是在已知、現行的方式進行不斷的重覆操作嗎?
隨著思緒的轉動，雙腳繼續在踏步中前進，手中的行李隨著腳步滑行過入關的長廊。旅行，正在行動中返航。於是，我又回到了自己的地方。
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